本文介绍n步方法、TD-λ、Eligibility Trace和函数近似。
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n步方法
MC方法是用Episode结束时的回报来作为更新目标，而TD(0)使用一步之后的回报来作为更新目标：
\[\begin{split} \text{1步回报(TD(0))} & G_{t:t+1}\equiv R_{t+1}+\gamma V_t(S_{t+1}) \\ \text{2步回报} & G_{t:t+2} \equiv R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2V_{t+1}(S_{t+2}) \\ ... \\ \infty \text{步回报(MC)} & G_{t:\infty}=G_t \equiv R_{t+1}+\gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{T-1}R_T \end{split}\]根据上面的推广，我们可以定义n步回报(n-step Return)为：
\[G_{t:t+n} \equiv R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{n-1}R_{t+n}+\gamma^{n}V_{t+n-1}(S_{t+n})\]这些方法的backup diagram如下图所示。
图：n步方法的backup diagram
有了n步回报之后，我们就可以n步TD学习算法的更新公式： \(V_{t+n}(S_t) \leftarrow V_{t+n-1}(S_t)+\alpha[G_{t:t+n}-V_{t+n-1}(S_t)],\;0 \le t < T\)
下面是不同的n在一个19状态的Random Walk（由于篇幅，本书不介绍这个任务）中的对比效果如下图所示，可以看出n=1(TD)和n很大(MC)的效果都不如中间的某个n好。
图：n步方法的比较
有了n步的预测，再加上ε-贪婪的策略提升，我们就可以实现n步的On-Policy策略n步SARSA算法。由于篇幅，我们就不讨论具体的算法了。同样的我们也可以使用重要性采样方法得到n步的Off-Policy算法。
TD-$\lambda$
$\lambda$-回报
前面我们介绍了n步回报，不同的n有不同的效果，那么还有一种方法就是把多个n步回报进行加权平均。比如我们可以把2步回报和4步如图回报加权平均起来：
\[G=\frac{1}{2}G_{t:t+2}+\frac{1}{2}G_{t:t+4}\]我们甚至可以把无穷多个n步回报加权平均起来，而λ-回报就是一种无穷多个n步回报的加权方式。无穷多个怎么加权呢？
图：λ-回报
如上图所示，我们把无穷多个n步回报加权平均起来（因为当n大于T的时候，$G_{t:t+n}$就等于真实的回报$G_t$了。所有后面无穷项的系数都累加起来是$\lambda^{T-t-1}$，读者请先接受这个数字，我们后面会证明它。
从图中可以看出，1步回报的权重是$1-\lambda$，2步回报的是$(1-\lambda)\lambda$，3步回报是$(1-\lambda)\lambda^2$，…，一共有无穷项：
\[G_t^{\lambda}=(1-\lambda)\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}G_{t:t+n}\]我们首先证明这无穷项的和是1。这需要一个简单的无穷级数公式：
\[\frac{1}{1-\lambda}=1+\lambda+\lambda^2+... =\sum_{n=0}^{\infty}\lambda^n\; 0 < \lambda < 1\]有了这个公式之后，我们就能计算所有回报的系数和：
\[(1-\lambda)\sum_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}=(1-\lambda)\frac{1}{1-\lambda}=1\]注意，因为当n=T-t及其以后$G_{t:t+n}$就等于真实的回报$G_t$了（因为到了Episode结束）。所以从n=T-t之后的项的回报是相同的，所以可以把后面无穷项合并起来：
\[\begin{split} & (1-\lambda)\sum_{n=T-t}^{\infty}\lambda^{n-1} G_t \\ & =(1-\lambda)\sum_{n=T-t}^{\infty}\lambda^{n-1} \frac{\lambda^{T-t-1}}{\lambda^{T-t-1}} G_t \\ & =(1-\lambda)\lambda^{T-t-1}\sum_{n=T-t}^{\infty}\lambda^{n-T+t} G_t \\ & \text{令n'=n-T+t}做下标变换 \\ & =(1-\lambda)\lambda^{T-t-1}\sum_{n'=0}^{\infty}\lambda^{n'} G_t\\ & =(1-\lambda)\lambda^{T-t-1}\frac{1}{1-\lambda}G_t \\ & =\lambda^{T-t-1}G_t \end{split}\]因此从n=1到T-t的n步回报的权重分配如图下图所示。这样，我们可以把$G_t^{\lambda}$写出有限项的和：
\[G_t^{\lambda}=(1-\lambda)\sum_{n=1}^{T-t-1}\lambda^{n-1}G_{t:t+n}+\lambda^{T-t-1}G_t\]
图：λ-回报的权重分配
有了$\lambda$-回报的计算公式之后，我们就可以用它得到TD-λ算法的更新目标，从而就可以进行预测了。
\[V(S_t) \leftarrow V(S_t)+\alpha(G_t^\lambda-V(S_t))\]这就是著名的TD-$\lambda$算法了，根据这个算法，Gerald Tesauro在1992年设计了TD-Gammon程序，它会学习西洋双陆棋(backgammon)，并且达到了人类顶尖高手的水平。
注意zhong这种TD-$\lambda$算法是所谓的前向视角(Forward View)得出的，和MC一样，它要等到Episode结束才能计算，而且不能用于非Episode的任务。
另外，我们看一下λ的两个特殊值，$\lambda=0$和$\lambda=1$的特例。根据公式，当$\lambda=0$时，第二项是零，第一项只有当n=0时的系数是非零的1，因此变成了TD(0)算法。当$\lambda=1$时，只有第二项，因此变成了MC算法。
图：Forward View
Eligibility Trace
到这为止前面所有介绍的方法都可以归为Forward View的算法，在t时刻我们往前看一步或者多步，然后得到更新的目标。如上图所示。接下来我们会介绍另外一种视角Backward View。我们首先需要介绍一个概念Eligibility Trace，Backward View的算法大部分都是基于这个概念。
我们来看一个Credit分配的问题（其实强化学习的本质就是要判断很久以前的某个行为/状态对未来的影响大小，当然机器学习也是分析哪些因素是某个事件发生的重要原因，但是强化学习的难点在于行为会改变未来），如下图所示，有两个行为响铃和开灯，最终导致电击事件的发生。那到底是那个行为造成的呢？也许你会说是响铃，因为响铃了很多次，根据经验，如果某个事件发生前经常有另一件事情发生，那么它们很可能存在某种联系。但也许会有人说是灯光导致电击的发生，因为它就在电击事件的前一刻发生，根据经验，离某个事件越近的事件越有可能是诱因。
图：Credit分配问题
那到底哪种说法正确呢？两种都对！因此我们在分配Credit的时候要同时考虑这两个因素。把这两个综合起来就可以得到Eligibility Trace:
\[\begin{split} & E_0(s)=0 \\ & E_t(s)=\gamma \lambda E_{t-1}(s) + \mathbb{1}(S_t=s) \end{split}\]根据上面的公式，$E_t$分为两部分，一部分来自之前的$E_{t-1}$，但是会衰减成原来的$\lambda$倍（$\gamma$是打折因子，这里暂不讨论）；另外一部分就是当前状态是否是s。
图：Eligibility Trace示例
我们来看上图，开始是E(s)是0，然后连续4次$S_t$都是s，因此E(s)不断增加，接着的状态都不是s，因此E(s)逐渐衰减，然后又有两次的状态是s，…。因此我们可以把$E_t(s)$看成状态s对于最终的结果的“责任”，有点像之前反向传播算法的错误$\delta$。这样我们就可以得到backward view的TD-$\lambda$算法的更新如下：
\[\begin{split} & \delta_t=R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t) \\ & V(s) \leftarrow V(s)+\alpha \delta_t E_t(s) \end{split}\]这个算法和之前的forward view实现不同，它不需要等到Episode结束就可以更新V(s)了。更新的量是$\delta_t$乘以$E_t(s)$再乘以学习率$\alpha$。因此如果$E_t(s)$很大，那说明状态s的“责任”也很大，因此它需要更新的比较多。那些状态的s对应的$E_t(s)$大呢？显然如果$S_t=s$，那么它会较大，另外如果在这之前的$S_i=s$，那么也会有非零的值，但是i距离t越远，衰减的就越多。如果在t时刻之前状态s完全没有出现过，那么E就是0。因为是根据当前的错误往前找“责任”，所以就是所谓的backward view，如下图所示。
注意：上面公式会对所有的状态都进行V(s)的更新，而不(只)是更新$V(S_t)$，当然如果$E_t(s)=0$，那么时间更新量是零。
图：Backward View
这看起来有些道理，但是这种方法怎么就和前面的forward view是一样的效果呢？下面我们来简单的验证一下。首先来验证一种特例，当$\lambda=0$时：
\[\begin{split} & E_t(s)=\mathbb{1}(S_t=s) \\ & V(s) \leftarrow V(s)+\alpha \delta_t E_t(s) \end{split}\]也就是只有$S_t$会有更新，其余的状态的$E_t(s)$都是0，所有上式就是：
\[V(S_t) \leftarrow V(S_t)+ \alpha \delta_t\]这正是TD(0)。
Backward View和Forward View等价定理
这个定理我们不做证明，但我们需要“读懂”它的意思。offline更新指的是等到一个Episode完成之后做一次更新，而不是每一步都更新，与之相反的是online更新。我们通过一个例子来说明其中的区别，假设一个Episode是：
\[s, a_1, r_1, t, a_2, r_1, s, a_2, ...\]那么算法会对状态s更新两次，对t更新一次。如果是online的，第二次计算使用的是第一次的结果来更新：
\[\begin{split} & V_2(s) \leftarrow \delta_1 + V_1(s)\\ & V_3(s) \leftarrow \delta_2 + V_2(s) \end{split}\]这里的$\delta_1$会依赖于$V_1(s)$，$\delta_2$会依赖于$V_2(s)$。最终的效果是：
\[V_3(s) \leftarrow \delta_1+\delta_2+V_1(s)\]而offline更新公式是一样的，但是$\delta_1$和$\delta_2$都只依赖于$V_1(s)$。
关于定理，另外一点就是公式里的s是Episode里出现的所有状态。这其实s是Forward View和Backward View的区别。Forward View在每一个时刻t只更新一个状态$S_t$的V值，因为t会影响所有后面的状态，所以它要往前看知道终止时刻T，而Backward View一次更新所有的状态。因此offline的算法可以根据最初的值计算每个时刻的错误$\delta_t$，然后累加起来就是整个Episode对状态s的更新。
我们不证明(验证)这个定理，但是验证一个特例($\lambda=1$)。假设一个Episode状态s只出现了一次，并且出现在时刻k。根据$E_t(s)$的公式：
\[\begin{split} E_t(s)&=\gamma E_{t-1}(s)+\mathbb{1}(S_t=s) \\ &=\begin{cases} 0 & \text{ if } t<k \\ \gamma^{t-k} & \text{ if } t \ge k \end{cases} \end{split}\]因为s只在时刻k出现一次，因此k时刻前E(s)都是0，而k时刻是,k+1时刻是$\gamma$，…。根据前面TD(1)的Backward View的算法，我们可以计算到Episode结束时关于状态s累积的错误是：
\[\sum_{t=1}^{T-1}\alpha\delta_tE_t(s)=\alpha\sum_{t=k}^{T-1}\gamma^{t-k}\delta_t=\alpha(G_k-V(S_k))\]首先我们看一下上个公式的第一个等号就是代入，最后一个等号的部分就是MC的$\delta$。如果第二个等号成立，那么就说明TD(1)和MC是等价的。之前的Forward View我们已经说明了MC和TD(1)是等价的，如果MC又和TD(1)的Backward View等价，那么就证明了TD(1)的Forward View和Backward View是等价的，我们来证明一下第二个等式$\sum_{t=k}^{T-1}\gamma^{t-k}\delta_t=(G_k-V(S_k))$如下（为了之前的习惯，我们把k换成了t）：
\[\begin{split} & \delta_t + \gamma \delta_{t+1}+\gamma^2\delta_{t+2}+...+\gamma^{T-t-1}\delta_{T-1} \\ = & R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t) \\ & + \gamma R_{t+2} +\gamma^2 V(S_{t+2}) - \gamma V(S_{t+1}) \\ & + \gamma^2 R_{t+3} +\gamma^3 V(S_{t+3}) -\gamma^2 V(S_{t+2})\\ & . \\ & . \\ & . \\ & + \gamma^{T-t-1}R_T+\gamma^{T-t}V(S_T) +\gamma^{T-t-1}V(S_{T-1}) \\ = & R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+\gamma^2 R_{t+3} +...+\gamma^{T-t-1} R_T-V(S_t)\\ = & G_t-V(S_t) \end{split}\]上面的每一行的最后一列和前以后的第二列抵消掉，只剩下第一列，第二列的最后一个的$\gamma^{T-t}V(S_T)$和第三列的第一个$-V(S_t)$。因为$V(S_T)=0$，所以就得到上面的结果。
上面只是证明了一个状态s，因此TD(1)的Backward View是和First-Visit MC大致等价的。不完全等价的原因是MC方法是Online更新的。也存在和Online的TD Backward View的算法，它和Online的Forward View等价，我们这里不介绍了。
函数近似(Function Approximation)
前面我们介绍的都是表格(Tabular)的方法，比如Q(s,a)，我们可以把状态看成行，action看成列，则这个表格的大小是$
|\mathcal{S}| \times |\mathcal{A}|$。这种方法只能解决状态和action空间是离散而且比较小的问题。但是很多实际的问题的状态空间和action空间都是很大甚至是连续的空间。比如我们让Agent玩一个视频弹球游戏，状态是当前时刻和之前时刻(为了能表示弹球的速度)的两帧图像。假设图像大小是80x80，图像是RGB的，那么状态空间的大小是$256^{3 \times 80 \times 80}$，存储这么大的空间是不可能的。而且即使能够存下，训练时模拟的Episode也不能每种状态都见过。
对于连续的状态空间，我们可以通过量化把它变成离散的空间，比如后面我们会用到的gym里的MountainCar，如下图所示。它的状态包括两个连续值，位置和速度，速度的范围是(-0.07,0.07)，位置的范围是(-1.2,0.6)，我们可以把这个范围均匀的切分为40个区间，每个区间的大小分别是0.0035和0.045。
但是怎么量化本身就是一个复杂的问题，量化的区间太大，那么就会丢失信息，而量化的区间太小，就会使得状态空间爆炸。而且有的值不是均匀分布的，某些范围可能要用比较精细的划分而另外的范围不需要精细的划分。
mountain car
对于连续的复杂的问题，更好的办法是使用一个函数来近似这个表格，这就叫做函数近似方法。比如把Q(s,a)表示为参数$w$的函数$Q_w (s,a)$。这样不过$|\mathcal{S}| \times |\mathcal{A}|$有多大，它的实际存储和计算只取决于参数$w$和模型结构(简单的线性模型还是复杂的多层神经网络)。
使用函数近似Q(s, a)还有一个好处就是它的泛化能力会增强，比如我们在模拟学习的时候可能没有经历过状态(0.53, 0.12)，但是我们有类似的状态(0.54, 0.11)。如果根据表格的方法，状态(0.53, 0.12)的值函数是未知的，但是使用函数之后就能计算出它们有近似的Value(通常的模型都是连续的函数)。
我们来看一个简单的函数近似方法，使用函数来近似状态值函数$v_\pi(s)$，假设函数为$\hat{v}(s, w)$。那么我们可以把普通的MC求$v_\pi(s)$的方法改造成函数近似的算法：
使用函数近似的MC算法
“真实”的Value可以用采样的$G_t$来近似，因此我们需要让函数$\hat{v}$来近似$G_t$，我们可以定义类似的loss函数为$\frac{1}{2} || G_t(S_t)-\hat{v}(S_t,w)||^2$，因此对上式求梯度就得到$-[G_t-\hat{v}(S_t,w)]\nabla \hat{v}(S_t,w)$，然后使用类似梯度下降的方法乘以步长$\alpha$就得到上面的更新公式。
当然，我们也可以使用TD来作为Value的近似，只需要把参数更新公式改为：
\[w \leftarrow w + \alpha[R +\gamma \hat{v}(S_{t+1},w) = \hat{v}(S_t,w)]\nabla \hat{v}(S_t,w)\]注意：TD需要计算$v(S_t)$和$v(S_{t+1})$的Value，这里用$\hat{v}(S_{t}$和$\hat{v}(S_{t+1}$来近似。
对于Q(s)，输入是状态s，输出是value；对于Q(s,a)，输入是状态s和行为a，输出是value。如果行为a的空间有限比如是m个值，那么也可以采用如下图右所示的方式，让函数的输入是s，输出m个值分别表示$Q(s, a_1),…,Q(s,a_m)$。这样做的好处是一次可以计算出多个Q(s,a)，比如在Q-Learning中，我们需要计算$max_aQ(s,a)$，需要计算状态s下采取所有不同action中得分最高的，那么这种方法就可以一次算好。
函数近似
函数近似使用的函数可以有不同的函数形式，从最简单的线性函数到复杂的神经网络。对于不同的函数和不同的算法组合，有不同程度的收敛性保证。下图列举了不同预测算法使用不同函数近似下的收敛性保证。
预测算法的收敛性保证
下图列举了不同控制算法的收敛性保证。
控制算法的收敛性保证
注意：没有收敛性保证不代表这个算法对于某个具体问题一定不收敛。比如Q-Learning和非线性的函数近似是不保证收敛的，但是在实际很多问题中，我们会使用非常复杂的神经网络来进行Q-Learning(Deep Q-Networks)，这显然是非线性的，不能保证收敛，但是在很多问题中效果很好。
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